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                      投影于抵偿高程面上的坐标计算方法及其公式推导

                      2013-07-05 18:16:44来源: 测绘论坛作者
                      聊聊

                      1    

                      国家有关规范规定在大中型工程测量中其控制网必须与国家控制点联测或采用国家坐标系?#24120;源?#21040;测量?#35797;?#20849;享成果共用的目的国家坐标系统是采用高斯克吕格正形投影简称“高斯投影”即先由大地面投影到参考椭球面再由参考椭球面投影到高斯平面而高程面则是投影到大地水准面上公路测量常用的处理方法是采用分带形式以减小高斯投影产生的长度变形而高程面的投影因为测区平均高程面与大地水准面的差值和地球曲率半径相比微不足道故忽略不计然而随着公?#26041;?#35774;的不断扩大与发展公路特别是高速公路从平原微丘区向山岭重丘区乃至高原地区?#30001;e?#27979;区高程面由数10m增加到数百米乃至数千米由于高程面的不同所产生的长度变形对工程建设的影响是我们必须考虑的问题如据有关计算表明当大地高程面H700m时其长度变形为11cm/km远大于规范允许值这对于重要工程的测量是一个不可忽略的小数本文通过分析讨论提出在?#25105;?#36873;定的抵偿高程面上的平面坐标的计算方法来解决长度变形问题

                      1   独立坐标?#25269;?#25237;影于抵偿高程面上的坐标换算

                      在独立坐标?#25269;У?#21407;有坐标XY投影高程面为H0测区平均高程面为H为?#25925;?#27979;边长与成?#35745;?#38754;上的边长相一致不致产生过大的长度投影变形需将测区平均高程面H作为抵偿高程面简称投影面从而建立新的地方独立坐标系统利用原有坐标XY换算成新的投影面抵偿高程面上的独立坐标X@Y@一般取测区中心或附近点为投影原点X0Y0换算过程中不考虑椭球面正形投影到高斯平面上长度改化变形因素对坐标换算的影响公式推导如下如图1所示

                      R-投影区地球平均曲 率半径

                      H0-原坐标投影面高程

                      H-新坐标投影面抵偿高程 面高程

                      X0Y0-投影原点坐标

                      XY-原坐标

                      X@Y@-投影于抵偿高程面上的新坐标

                      因为

                      (X@- X0) /R+HX- X0/R+H0

                      X@=X0+X-X0R+H/R+H0

                      所以X@=X0+(X-X0) 1+H-H0/(R+H0)      1   

                      同理Y@=Y0+(Y-Y0) 1+H-H0/(R+H0) 

                      以上1式即为新老坐标投影换算公式

                       

                      2  投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标换算

                          1954年?#26412;?#22352;标换算为投影于地方独立抵偿高程面上的高斯平面坐标按以下两种方法考虑

                      2.1  方法一

                      该方法是以抵偿高程面作为地方独立参考椭球面通过计算?#25105;?#23454;测边长D0投影于地方独立参考椭球面(即抵偿高程面)并经高斯正形投影改化后得到新的地方独立坐标系抵偿高程Hp上的高斯平面边长度D2@与该实测边长在1954年?#26412;?#22352;标系统高斯平面上长度D2实测边长D0投影于克氏参考椭球上经高斯正形投影改化后在高斯平面上的长度的比值D2@/ D2关系式推导出新旧投影面上的高斯平面坐标换算公式如图2所示

                      D0-实测边长长度

                      R-投影区地球平均曲率半径

                      D1-克氏椭球面上长度

                      D1@-地方独立椭球面抵偿高程面上  长度

                      D2-1954年?#26412;?#22352;标系高斯平面上长度

                      D2@---地方独立坐标系高斯平面上长度 D1@经高斯正形投影改化后得到的长度

                      Hm-实测边长两端点平均高程

                      Hp-抵偿高程面高程即投影面高程

                      Ym-实测边长两端点距1954年?#26412;?#22352;标?#25269;?#22830;子午线之平均距离

                      Ym@-实测边长两端点距地方独立坐标?#25269;?#22830;子午线之平均距离

                      XY-1954年?#26412;?#22352;标

                      X@Y@-投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标

                      因为 D1 = D0[1 -Hm/R+Hm

                      D1@ = D1(1 + Hp /R)

                      D2 = D1(1 +Ym2/2R2)-------高斯正形投影改化公式

                      D2@ = D1@[1 +Ym@2/2(R+ Hp)2]

                      =D1(1 + Hp /R)[1 +Ym@2/2(R+ Hp)2]---------高斯正形投影改化公式

                      所以

                      ?#25105;?#36793;长投影于抵偿高程面上的高斯平面长度与其投影于1954年?#26412;?#22352;标系高斯平面上的长度之比= D2@/ D2=(1 + Hp /R) [1 +Ym@2/2(R+ Hp)2] / [1+ Ym2/2R2]

                      由于长度投影变形与方向无关且坐标与长度成正比例线性关系

                      因此

                      Y@= Y(1 + Hp /R) [1 +Y@2/2(R+ Hp)2]/ [1+ Y2/2R2]                              

                      X@= X(1 + Hp /R) [1 +Y@2/2(R+ Hp)2]/ [1+ Y2/2R2]

                      以上2式即为投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标换算公式其中Y@ 坐标计算可以通过解一元二次方程求得或者取Y@ = Y(1 + Hp /R)式计算误差较小

                      2.2  方法二

                      该方法是首先将原坐标XY1954年?#26412;?#22352;标进行高斯投影反算求得大地坐标经纬度LB然后在考虑抵偿高程面投影时重新建立地方独立参考椭球以抵偿高程面作为地方独立参考椭球面即在克氏椭球基础上改变参考椭球长轴a?#35752;?font face="Times New Roman" style="word-wrap: break-word; ">b的长度a@=a+ Hp但扁率αα=1/298.3偏心率e保持不变b@= a@1-α来?#33539;?#26032;的地方独立参考椭球面参数最后令大地坐标BL保持不变通过高斯投影正算求得新建立的地方独立参考椭球面上的高斯平面坐标X@Y@即为投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标从而间接达到改变投影面抵偿高程面时进行高斯平面坐标换算之目的

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